🔢 Jenis Bilangan & Operasi Hitung
Jenis Bilangan: Bilangan Bulat (..., -2, -1, 0, 1, 2), Rasional (dapat ditulis a/b), Irasional (seperti √2, π).
Sifat Operasi: Komutatif (a+b = b+a), Asosiatif ((a+b)+c = a+(b+c)), Distributif (a×(b+c) = a×b + a×c).
Urutan Operasi: Kurung () → Pangkat/Akar → Kali/Bagi (× / ÷) → Tambah/Kurang (+ / -)
Contoh Soal:
-12 + 8 × (-5) - 18 : 3 = -12 + (-40) - 6 = -58
⚠️ Dahulukan perkalian/pembagian sebelum penjumlahan/pengurangan! Perhatikan tanda negatif.
🌱 Faktorisasi Prima & Estimasi
Faktorisasi Prima: Menguraikan bilangan menjadi perkalian faktor-faktor primanya (contoh: 24 = 2³ × 3).
Estimasi: Membulatkan bilangan untuk melakukan perkiraan cepat dalam perhitungan aritmetika.
Contoh FPB & KPK:
24 = 2³ × 3 ; 36 = 2² × 3² ; 72 = 2³ × 3²
• FPB (faktor sama pangkat terkecil) = 2² × 3 = 12
• KPK (semua faktor pangkat terbesar) = 2³ × 3² = 72
⚖️ Rasio, Perbandingan & Skala
Rasio & Skala: Membandingkan dua besaran sejenis. Skala = Jarak Peta / Jarak Sebenarnya.
Perbandingan Senilai: Jika A naik, B ikut naik (a₁ / b₁ = a₂ / b₂).
Perbandingan Berbalik Nilai: Jika A naik, B turun (a₁ × b₁ = a₂ × b₂).
Contoh Selisih Rasio (Uang):
A : B = 3 : 5, Selisih = Rp40.000,00.
Selisih rasio = 5 - 3 = 2. Jumlah rasio = 3 + 5 = 8.
Jumlah uang = (8 / 2) × Rp40.000,00 = Rp160.000,00
Contoh Berbalik Nilai (Pekerja & Waktu):
12 pekerja → 30 hari. Tambah 3 pekerja (jadi 15 orang) → H hari.
12 × 30 = 15 × H → 360 = 15H → H = 24 hari.
💡 Untuk soal skala, ubah semua satuan ke cm terlebih dahulu (1 km = 100.000 cm).
⚡ Bilangan Berpangkat, Bentuk Akar & Notasi Ilmiah
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | (aᵐ)ⁿ = aᵐᵏⁿ | a⁰ = 1 (a ≠ 0)
Notasi Ilmiah: a × 10ⁿ (dengan 1 ≤ a < 10)
Contoh Pangkat & Akar:
• (2⁴ × 2³) / 2⁵ = 2⁴⁺³⁻⁵ = 2² = 4
• √75 - √12 + √27 = √(25×3) - √(4×3) + √(9×3) = 5√3 - 2√3 + 3√3 = 6√3
• Notasi Ilmiah: 450.000 = 4,5 × 10⁵
💡 Merasionalkan Penyebut: 6 / √3 = (6 × √3) / (√3 × √3) = 6√3 / 3 = 2√3.
🧩 Bentuk Aljabar, PLSV & PtLSV
Sifat Operasi Aljabar: Hanya suku-suku sejenis (variabel dan pangkat sama) yang dapat dijumlahkan/dikurangi.
3(2x - 4y) - 2(x - 3y) = 6x - 12y - 2x + 6y = 4x - 6y
Contoh PLSV:
3x - 5 = 7x + 11 → 3x - 7x = 11 + 5 → -4x = 16 → x = -4
⚠️ Pada pertidaksamaan (PtLSV), jika dikali/dibagi bilangan negatif, tanda pertidaksamaan HARUS DIBALIK! Contoh: -3x ≤ 12 → x ≥ -4.
✌️ Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Mencari nilai dua variabel yang memenuhi dua persamaan linear sekaligus (metode Eliminasi atau Substitusi).
Trik Cepat Menghitung (x + y):
Diberikan: 2x + y = 9 dan x + 2y = 12.
Jumlahkan kedua persamaan: 3x + 3y = 21 → 3(x + y) = 21 → x + y = 7.
📈 Relasi & Fungsi
Relasi: Hubungan antara anggota himpunan domain dan kodomain.
Fungsi (Pemetaan): Relasi khusus di mana setiap anggota Domain dipasangkan tepat ke satu anggota Kodomain.
Range: Himpunan hasil pasangan dari fungsi.
Contoh Menghitung Nilai Fungsi:
Diketahui f(x) = 3x - 5. Jika f(a) = 10, tentukan nilai a!
f(a) = 3a - 5 = 10 → 3a = 15 → a = 5.
🔢 Barisan & Deret
Barisan Aritmetika (Beda/penjumlahan tetap):
Uₙ = a + (n - 1)b | Sₙ = (n / 2) × [2a + (n - 1)b]
Barisan Geometri (Rasio/perkalian tetap):
Uₙ = a × rⁿ⁻¹
Contoh Aritmetika & Geometri:
• Barisan 5, 8, 11, ... (a = 5, b = 3) → U₁₅ = 5 + (14 × 3) = 47.
• Barisan 2, 6, 18, ... (a = 2, r = 3) → U₆ = 2 × 3⁵ = 2 × 243 = 486.
📐 Garis, Hubungan Antarsudut & Teorema Pythagoras
Sudut Saling Berpenyiku = 90° | Sudut Saling Berpelurus = 180°.
Segitiga Siku-Siku: a² + b² = c² (c = sisi miring)
Contoh Sudut & Pythagoras:
• Penyiku dari 35° = 90° - 35° = 55°.
• Sisi siku-siku 9 cm & 12 cm → Sisi miring c = √(9² + 12²) = √225 = 15 cm.
💡 Tripel Pythagoras Populer: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), (8, 15, 17), (9, 12, 15).
🖼️ Bangun Datar, Kekongruenan & Kesebangunan
Luas Trapesium = ½ × (a + b) × t | Luas Lingkaran = πr² | Keliling Lingkaran = 2πr
Kongruen: Bentuk dan ukuran sama persis (sisi bersesuaian sama panjang, sudut sama besar).
Sebangun: Bentuk sama, panjang sisi bersesuaian memiliki perbandingan/rasio yang sama.
Contoh Kesebangunan (Tiang vs Pohon):
Tiang 6 m (bayangan 4 m), Pohon T m (bayangan 10 m).
6 / 4 = T / 10 → T = (6 × 10) / 4 = 15 m.
📦 Bangun Ruang & Jaring-Jaring
Jaring-jaring adalah gabungan bangun datar penyusun bangun ruang jika dibuka.
• Kubus: L = 6s² | V = s³
• Kerangka Balok: K = 4 × (p + l + t)
• Tabung: V = πr²t | Kerucut: V = ⅓πr²t | Bola: L = 4πr²
Contoh Kerangka & Volume:
• Kerangka balok 12 cm × 8 cm × 5 cm → K = 4 × (12 + 8 + 5) = 100 cm.
• Volume tabung (r = 7, t = 10) → V = (22/7) × 7² × 10 = 1540 cm³.
🔄 Transformasi Geometri
Refleksi (Pencerminan): Terhadap Sumbu-X: (x, y) → (x, -y) | Sumbu-Y: (x, y) → (-x, y)
Translasi (Pergeseran): (x, y) + (a, b) → (x + a, y + b)
Rotasi (Perputaran): Perputaran titik terhadap pusat sudut tertentu.
Dilatasi (Perkalian Ukuran): (x, y) dikali faktor skala k → (kx, ky)
Contoh Refleksi & Translasi:
• Titik P(3, -5) dicerminkan sumbu-X → P'(3, 5).
• Titik A(-2, 4) ditranslasi T(3, -2) → A'(-2 + 3, 4 + (-2)) = A'(1, 2).
📊 Penyajian Data & Pengolahan Data (Statistika)
Penyajian Data: Menggunakan tabel, diagram batang, diagram garis, atau diagram lingkaran.
Mean (Rata-Rata) = Total Nilai Data / Banyak Data (n)
Median = Nilai Tengah (setelah data diurutkan)
Modus = Data dengan frekuensi terbanyak (sering muncul)
Jangkauan (Range) = Nilai Maksimum - Nilai Minimum
Contoh Gabungan Rata-Rata:
15 siswa rata-rata 7,0 (Total = 105). Ditambah 5 siswa, rata-rata 20 siswa jadi 7,5 (Total = 150).
Total nilai 5 siswa = 150 - 105 = 45 → Rata-rata 5 siswa = 45 / 5 = 9,0.
🎲 Peluang & Kejadian Sederhana
Ruang Sampel n(S): Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
Frekuensi Relatif (Peluang Empirik): Banyak kemunculan kejadian dibagi total percobaan.
Peluang P(A) = n(A) / n(S)
Frekuensi Harapan = P(A) × Banyak Percobaan
Peluang Komplemen: P(A') = 1 - P(A)
Contoh Peluang & Frekuensi Harapan:
• Dadu diputar sekali, mata prima {2, 3, 5} → P = 3 / 6 = ½.
• Dua koin dilempar, minimal 1 Angka {AA, AG, GA} → P = ¾.
• Dadu dilempar 120 kali, mata < 3 {1, 2} (P = ⅓) → Fh = ⅓ × 120 = 40 kali.
⚠️ Rentang nilai peluang selalu antara 0 sampai 1 (0 ≤ P ≤ 1). Tidak bisa negatif atau melebihi 1!
📌 Bilangan
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Skala = J.Peta / J.Sebenarnya
Senilai: a₁/b₁ = a₂/b₂
📌 Aljabar
PLSV: ax + b = c
Fungsi: f(x) = ax + b
Aritmetika: Uₙ = a + (n-1)b
Geometri: Uₙ = a × rⁿ⁻¹
📌 Geometri
Pythagoras: c = √(a² + b²)
Tabung V: πr²t
Kerucut V: ⅓πr²t
Refleksi sb-X: (x, -y)
📌 Data & Peluang
Mean: Total / Banyak Data
Peluang: P(A) = n(A) / n(S)
Fh: P(A) × N
Komplemen: P(A') = 1 - P(A)
💡 Tips Cepat TKA: Pahami konsep inti, baca instruksi soal dengan cermat, dan perhatikan satuan sebelum menghitung!